||◄موسوعة نضريات رياضية ►||

النضرية الاولي
أعداد فيبواناشي (فيبوناتشي)




ليناردو فيبوناشي Fibonacci ويدعى أيضا
ليناردو بيزا Leonard of Pisa نسبة الى مدينة بيزا الإيطالية. ليناردو ابن لـ
Guglielmo والذي كان يكنى Bonacci . عاش فيبوناشي في الفترة (117 - 1250) وقد اطلق
عليه اسم فيبوناشي بعد وفاته وهو مشتق من filius Bonacci وتعني ابن بوناشي. ارتحل
في شبابه مع والده عدة مرات الى بعض البلاد العربية كالجزائر ومصر والشام عبر
بوابتها في شمال افريقيا على زمن دولة الموحدين التي حكمت شمال افريقيا والأندلس
وتعلم على يد عظماء الرياضيين العمسلمين آنذاك وأخذ عنهم النظام العربي الهندي في
الأعداد (وهو نظام عشري) ثم نشر هذا النظام في اوروبا عند عودته لمسقط رأسه بيزا من
خلال كتابه Liber Abaci والذي احتوى أيضا على متتابعة الأعداد التي اشتهر بها وحملت
اسمه "أعداد فيبواناشي" وسميت بذلك بعد وفاته. ولفيبوناشي كتاب آخر قدمه في 1220م
بعنوان Practica geometriae احتوى حصيلة وافرة من الهندسة وحساب المثلثات.




أعداد فيبوناشي[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] عبارة عن متتابعة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]معرفة
بالعلاقة التكرارية التالية:



[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




أي أنه ابتداء من الحد الثالث فإن كل حد عبارة
عن مجموع الحدين السابقين له. هذه بعض حدود المتتابعة والتي يطلق عليها أحيانا
متتابعة فيبوناشي.



0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,....



لكن ماذا لو أردنا معرف الحد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
هل يجب علينا المضى قدما حتى نصل اليه, ألا يوجد طريقة لحسابة مباشرة؟ جوابا على
هذا السؤال يوجدصورة مغلقة للحد النوني في متتابعة فيبوناشي وهي :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




حيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
وتسمى النسبة الذهبية. وحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
جذر للمعادلة المميزة فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
وبالتالي يمكن كتابة الصورة المغلقة على الشكل

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]



ونستطيع إثبات هذه الصورة المغلقة بعدة
طرق نناقش هنا بعضها



1) طريقة دالة التوليد لمتتابعة فيبوناشي. وهي
المتسلسلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
يمكنا ان نوجد مجموع هذه المتسلسلة باستخدام العلاقة التكرارية [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث





استبدل الآن معاملات المجموع باستخدام العلاقة
التكرارية


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




نستخرج عامل مناسب من هذه المتسلسلات لنحصل
على صورة S


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


وحيث F0=0 فيمكن إضافته للمجموع الأول من جهة
اليسار وبالتالي


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


بحل هذه المعادلة بالنسبة لـ S نحصل على مجموع
المتسلسلة أو الصورة المغلقة لدالة التوليد لمتتابعة فيبوناشي.


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]



الآن من خلال هذه الطرف الأيمن نوجد صورة
أخرى لهذه المتسلسلة. فمن قانون حل معادلة الدرجة الثانية نحصل على


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




خذ الآن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
عامل مشارك مع ملاحظة ان هذا الضرب = -1 ينتج لنا


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


إذا


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


وبالمقارنة يتبين ان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].





2) هناك طريقة أخرى باستخدام المعادلة
المميزة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
للعلاقة التكرارية [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
بحل المعادلة نجد أن لها الجذرين:


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


إذا الصورة المغلقة لهذه العلاقة التكرارية
على الشكل


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


مع ملاحظة , [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
تحديد a,b يتم من خلال معرفتنا بالحدين [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
وبالتعويض بهما في العلاقة أعلاه . إذا


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
, إذا


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


3) هناك طريقة ثالثة لاثبات العلاقة المغلقة
بواسطة الاستقراء الرياضي ولعل هذه الطريقة تعتبر الأسهل ولكنها لا تجيب عن السؤال
الطبيعي, كيف وصلنا لهذه الصورة؟.



علاقات ومتطابقات عديدة تربط بين حدود متتابعة
فيبوناشي ومنها متطابقة كازيني Cassini's identity

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]



عممت هذه المتطابقة بواسطة Catalan وسميت
متطابقة كاتلن Catalan's identity

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




وهنا إضافة لبعض المتطابقات الأخرى


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


وهذه علاقة مصفوفية تربط بين أعداد فيبوناشي
ويمكن استخادم المحددة لها في اثبات متطابقة كازيني :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]



من الحقائق الجميلة والقديمة حول قابلية
القسمة بين أعداد فيبوناشي أن Fn يقسم Fm إذا وإذا فقط كان n يقسم m. في العام 1997
اثبت تعميما رائعا لهذه الحقيقة وهو:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا وإذا فقط [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


وقد ساعدت هذه الحقيقة مكتشفها في تقديم حل
لمسألة هلبرت العاشرة.



أيضا في متتابعة فيبوناشي, كل عددين متتابعين
أوليان نسبيا. أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
وذلك لكل عدد صحيح موجب n. بشكل أعم , كل ثلاثة أعداد فيبوناشي متتابعة هي أولية
نسبيا ,تحديدا

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]



يمكن تعميم هذه النتيجةباثبات أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],
ونصل لهذه النتيجة باستخدام خوارزمية اقليدس Euclid's algorithm. مزيد من الخصائص
العددية سجلتها في أسفل هذا الموضوع كتمارين.




تمارين:



* اثبت أن Fm يقسم Fmn لكل عدد صحيح موجب m,n.
مثلا F3 يقسم F6.
* اثبت أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
لكل عدد صحيح موجب n.
* العدد 5 يقسم n إذ وإذا فقط 5 يقسم Fn.




* بين ان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
, ارشاد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




* اثبت أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
ارشاد عبر عن F بالصيغة المغلقة وخذ عامل مشترك.

* استخدم العلاقة المصفوفية أعلاه وقانون ضرب
المصفوفات لإثبات أن :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


* أثبت ان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
لكل عدد صحيح موجب n.



* أثبت أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

1)مسلمة الاختيار

تأريخ المسلمة وسبب الجدل
حولها

هذه المسلمة إحدى أكثر المسلمات جدلاً
من ضمن مسلمات نظرية المجموعات . حيث أنها مستقلة عن جميع المسلمات ( أي صحتها أو
خطأها لا يؤثر في بقية المسلمات) . ويوجد نظام مسلمات زرميلو فريانكل بدون مسلمة
الاختيار ويرمز له بالرمز ZF .

تأريخياً أول من صاغ هذه المسلمة
بشكلها الرسمي هو إرنست زرميلو Ernest Zermelo عام 1904 ، وقد أثارت هذه المسلمة
الكثير من الجدل في أوائل القرن العشرين ، ولكن الجدل قد انتهى تقريباً وأصبحت
تستخدم بدون تحفظ من قبل الرياضيين . استخدمت مسلمة الاختيار في إثبات مبرهنات هامة
كمبرهنة تايكنوف Tychonoff's Theorem حول الجداء التبولوجي اللامنتهي.

سبب الجدل حول هذه المسلمة جاء بسبب
متناقضة باناخ-تارسكي Banach–Tarski Paradox التي نشرت عام 1924، حيث تثبت هذه
المتناقضة إمكانية تفتيت كرة معينة إلى عدد منته من القطع ، ومن ثم يمكن تجميع هذه
القطع بواسطة التدوير rotationوالإزاحة translation فقط لتشكيل كرتين تساوي كل من
هما في الحجم للكرة الأولى ! .. القطع المفتتة ليست ذات شكل اعتيادي ، بل تتكون من
توزيع لامنته معقد للنقاط بحيث أنها غير قابلة للقياس Non-measurable sets . هذه
المتناقضة تعتمد في إثباتها بشكل أساسي على مسلمة الاختيار . هذه المتناقضة سببت
شكاً كبيراً في مسلمة الاختيار لأنها تتعارض مع التصور البديهي للإنسان للأشكال
الهندسية .



نص المسلمة


تنص المسلمة على أنه لكل فئة مجموعات s
فإنه توجد دالة f بحيث أنها تأخذ عنصراً من كل مجموعة من عناصر s وتضعه في مجموعة
جديدة . بعبارة أخرى فإن f تختار من كل مجموعة عنصراً ، تسمى f دالة الاختيار .


أو بشكل مكافئ

إذا كانت لدينا عائلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
هي مجموعة الأدلة index set ، بحيث أن كل مجموعة في العائلة لا تتقاطع مع مجموعة
أخرى ، فإنه توجد هناك مجموعة واحدة على الأقل C بحيث أنها تتقاطع مع كل من مجموعة
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
في عنصر واحد فقط .

تكافئ هذه المسلمة عدد من العبارات مثل
:

• لازمة زورن Zorn's Lemma : إذا كان
  لكل سلسلة Chain في مجموعة غير خالية مرتبة جزئياً Partially order nonempty set حد
  أعلى ، فإن المجموعة لديها عنصر أعظمي maximal element
• مبرهنة الترتيب الحسن أو مبرهنة
  زرميلو Well-ordering Theorem or Zermelo's Theorem : كل مجموعة يمكن ترتيبها
  ترتيباً حسناً .
• الضرب الكارتيزي لأي عدد من
  المجموعات غير الخالية غير خالٍ .
• يوجد لكل فضاء متجهات (Vector space)
  أساس (basis)
• تحوي كل حلقة واحدية unital ring (ما
  عدا الحلقة البديهية trivial ring ) مثالياً أعظمياً maximal ideal
• نظرية تايكنوف Tychnoff's Theorem إن
  الفضاء التبولوجي المعرف بجداء أي مجموعة من الفضاءات التبولوجية المتراصة Compact
  Topological Space ، يكون متراصاً compact
  
  

مثال


مثلاً للمجموعة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
فإن
الدالة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
معرفة بحيث :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


لاحظ أن الدالة f اختارت عنصراً من كل
عناصر s .

طبعاً سبب الجدل لا يعود إلى هذه
الحالة ، لأنه في حالة كون s مجموعة منتهية فإنه يمكن إثبات وجود دالة الاختيار
باستخدام المسلمات الأخرى لنظرية المجموعات . يمكن تشبيه الأمر بوجود عدد منتهٍ من
الصناديق وفي كل منها عدد من الكرات ، يمر شخص ويختار من كل صندوق كرة ويضعها في
صندوق يحمله . إمكانية حدوث ذلك واضحة .

حتى في بعض المجموعات اللامتناهية ،
إذا كانت عناصر s هي مجموعات من الأعداد الطبيعية ، فإنه يمكن اختيار أصغر عنصر من
كل مجموعة .. ووجوده مضمون بسبب مبدأ الترتيب الحسن Well-ordering Principle


إن سبب الخلاف حول المسلمة يمكن
في حالة عدم وجود طريقة واضحة لاختيار العنصر .. مثلاً في مجموعة قوة الأعداد
الحقيقية [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
، فإنه ليس واضحاً كيف يمكن اختيار عنصر من من كل مجموعة .



استقلالية المسلمة


بناء على ما قام بها كل من غودل
Gödel و كوهين Cohen ، فإن مسلمة الاختيار مستقلة تماماً عن المسلمات التسعة الأخرى
. بعبارة أخرى فإن النظام ZF + مسلمة الاختيار يبقى متجانس، وكذلك فإن النظام ZF +
نفي مسلمة الاختيار يبقى متجانساً .

النضرية الثانية

نظرية المجموعات البديهية

2)الدالة المميزة

إذا كانت E مجموعة جزئية من X. الدالة
المميزة Characteristic Function للمجموعة E هي الدالة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
المعرفة على X بالعلاقة

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

الدالة المميزة للمجموعة E لها القيمة
1 على E وصفر خارج E. هناك رموز أخرى تستخدم للدلاله على هذه الدالة مثل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
الحرف I هنا من كلمة indicator حيث يستخدم البعض مصطلح indicator function عوضا عن
characteristic function.


خواص الدالة المميزة




إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
فإن




وبشكل عام فإن


[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
منفصلة مثنى مثنى فإن

إذا كانت[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
متتابعة لا نهائية من مجموعات جزئية من X فإن

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

حيث lim sup و lim inf التي في الطرف
الأيمن هي المفهوم الاعتيادي للنهاية العليا والسفلى لمتتابعات الأعداد